एक बहुपद में एक चर (x) होता है जिसे एक घात के रूप में जाना जाता है, और कई शब्द और/या स्थिरांक होते हैं। बहुपद को गुणन करने का अर्थ है व्यंजक को छोटे व्यंजकों में विभाजित करना जो गुणा करते हैं। इस ज्ञान का अध्ययन बीजगणित I से किया जाता है, और यदि आपके पास आधार नहीं है तो इसे समझना मुश्किल हो सकता है।
कदम
शुरुआत
चरण 1. व्यंजक को असेंबल करें।
द्विघात समीकरण के लिए मानक प्रारूप है:
कुल्हाड़ी2 + बीएक्स + सी = 0
समीकरण की शर्तों को सबसे बड़ी से कम से कम शक्ति के क्रम से शुरू करें, जैसा कि ऊपर के रूप में है। उदाहरण के लिए, ले लो;
6 + 6x2 + 13x = 0
व्यंजक को फिर से व्यवस्थित किया जाएगा ताकि शर्तों के स्थान को बदलकर इसे और अधिक आसानी से काम किया जा सके:
6x2 + 13x + 6 = 0
चरण 2. नीचे दी गई विधियों में से किसी एक का उपयोग करके गुणनखंडित आकृति ज्ञात कीजिए।
एक बहुपद का परिणाम दो छोटे व्यंजकों में होता है जिन्हें मूल बहुपद उत्पन्न करने के लिए गुणा किया जा सकता है:
6x2 + 13x + 6 = (2x + 3) (3x + 2)
इस उदाहरण में, (2x +3) और (3x + 2) मूल व्यंजक के गुणनखंड हैं, 6x2 + 13x + 6.
चरण 3. परिणाम की जांच करें
पहचाने गए कारकों को गुणा करें। फिर बस समान शब्दों को मिलाएं। के साथ शुरू:
(2x + 3)(3x + 2)
आइए एफओआईएल विधि का उपयोग करके इसका परीक्षण करें (अंग्रेजी के लिए पहले बाहर, अंदर, अंतिम - पहले बाहर, फिर अंदर), जिसे गुणन की वितरण संपत्ति भी कहा जाता है, प्राप्त करना:
6x2 + 4x + 9x + 6
अब 4x और 9x जोड़ना संभव है क्योंकि वे समान पद हैं। आप जानते हैं कि कारक सही हैं क्योंकि मूल समीकरण प्राप्त हुआ था:
6x2 + 13x + 6
विधि १ का ६: परीक्षण और त्रुटि
यदि आपके पास एक बहुत ही सरल बहुपद है, तो आप इसे देखकर स्वयं कारकों का पता लगाने में सक्षम हो सकते हैं। उदाहरण के लिए, अभ्यास के बाद, कई गणितज्ञ यह पहचानने में सक्षम हैं कि व्यंजक 4x2 पहले इस व्यंजक के साथ बहुत काम करने के बाद + 4x + 1 के गुणनखंड (2x + 1) और (2x + 1) हैं। लेकिन निश्चित रूप से अधिक जटिल बहुपदों के साथ यह इतना आसान नहीं होगा। इस उदाहरण में, हम एक कम सामान्य व्यंजक का उपयोग करेंगे:
3x2 + 2x - 8
चरण 1. पदों a और c के गुणनखंडों की सूची बनाइए।
मानक कुल्हाड़ी प्रारूप का उपयोग करना2 + bx + c = 0, a और c के पदों को पहचानिए और उनके गुणनखंडों की सूची बनाइए। 3x. के लिए2 + 2x - 8, इसका अर्थ है:
ए = 3 और कारकों का एक सेट है: 1 * 3
सी = -8 और कारकों के चार सेट हैं: -2 * 4, -4 * 2, -8 * 1 और -1 * 8।
चरण 2. खाली कोष्ठकों के दो सेट एकत्र करें।
आप उन्हें प्रत्येक अभिव्यक्ति के स्थिरांक से भर देंगे:
(एक्स) (एक्स)
चरण 3. x के सामने रिक्त स्थान को a मान के कुछ संभावित कारकों से भरें।
प्रयुक्त उदाहरण में पद a के लिए, 3x2, केवल एक ही संभावना है:
(3x)(1x)
चरण 4. अचरों के लिए गुणनखंडों के युग्म से x के बाद के दो स्थानों की पूर्ति करें।
मान लीजिए आप संख्या 8 और 1 चुनते हैं। उन्हें लिख लें:
(3x
चरण 8.)(
चरण 1।
चरण 5. तय करें कि x के चर और संख्याओं के बीच कौन से चिह्न (जोड़ या घटाव) जाने चाहिए।
मूल अभिव्यक्ति में संकेतों के आधार पर, यह पता लगाना संभव है कि स्थिरांक के संकेत क्या होने चाहिए। आइए दो कारकों h और k के लिए दो स्थिरांक कहते हैं:
अगर x2 + बीएक्स + सी, फिर (एक्स + एच) (एक्स + के)
अगर x2 - बीएक्स - सी या कुल्हाड़ी2 + बीएक्स - सी, फिर (एक्स - एच) (एक्स + के)
अगर x2 - बीएक्स + सी, फिर (एक्स - एच) (एक्स - के)
उदाहरण के लिए, 3x2 + 2x - 8, संकेत होना चाहिए: (x - h)(x + k), जिसके परिणामस्वरूप दो कारक होते हैं:
(3x + 8) और (x - 1)
चरण 6. वितरण संपत्ति का उपयोग करके विकल्पों का परीक्षण करें।
चलाने के लिए एक त्वरित पहला परीक्षण यह देखना है कि क्या मध्य शब्द सही मानों से मेल खाते हैं। यदि नहीं, तो आपने c के लिए गलत कारकों को चुना होगा। आइए उत्तर का परीक्षण करें:
(3x + 8)(x - 1)
गुणा करते समय, आपको मिलेगा:
3x2 - 3x + 8x - 8
समान पदों (-3x) और (8x) के योग से इस व्यंजक को सरल बनाने पर, आप प्राप्त करते हैं:
3x2 - 3x + 8x - 8 = 3x2 + 5x - 8
अब हम जानते हैं कि हमें गलत कारकों की पहचान करने की आवश्यकता है:
3x2 + 5x - 8 3x2 + 2x - 8
चरण 7. यदि आवश्यक हो तो कारक बदलें।
उपयोग किए गए उदाहरण में, आइए 1 और 8 के बजाय 2 और 4 का उपयोग करने का प्रयास करें:
(3x + 2)(x - 4)
अब c पद -8 के बराबर है, लेकिन बाहरी/आंतरिक उत्पाद (3x * -4) और (2 * x) -12x और 2x के बराबर है, जिन्हें +2x का सही b पद बनाने के लिए संयोजित नहीं किया जा रहा है।
-12x + 2x = 10x
10x 2x
चरण 8. यदि आवश्यक हो तो आदेश को उलट दें।
आइए 2 और 4 को स्थानांतरित करने का प्रयास करें:
(3x + 4)(x - 2)
अब c पद (4 * 2 = 8) अभी भी सही है, लेकिन बाहरी/आंतरिक उत्पाद -6x और 4x हैं। उन्हें मिलाकर:
-6x + 4x = 2x
2x -2x हम 2x के करीब हैं, लेकिन संकेत गलत है।
चरण 9. यदि आवश्यक हो तो संकेतों की जाँच करें।
एक ही क्रम रखें, लेकिन ऋण चिह्न के साथ एक को बदलें:
(3x - 4)(x + 2)
अब c पद अभी भी सही है, लेकिन बाहरी/आंतरिक उत्पाद (6x) और (-4x) हैं। पसंद:
6x - 4x = 2x
2x = 2x अब मूल समस्या से धनात्मक पद 2x को पहचानना संभव है। ये सही कारक होने चाहिए।
विधि २ का ६: अपघटन
यह विधि पदों a और c के लिए सभी संभावित कारकों की पहचान करती है और उनका उपयोग यह पता लगाने के लिए करती है कि कारक क्या होने चाहिए। यदि संख्याएँ बहुत बड़ी हैं या अन्य विधियाँ अधिक जटिल लगती हैं, तो इस विधि का उपयोग करें। आइए उदाहरण का उपयोग करें:
6x2 + 13x + 6
चरण 1. पदों a और c को गुणा करें।
इस उदाहरण में, दोनों बराबर 6.
6 * 6 = 36
चरण 2. गुणनखंडन और परीक्षण द्वारा पद b का मान ज्ञात कीजिए।
आपको दो संख्याएँ खोजने की आवश्यकता है जो a * c के गुणनफल के गुणनखंड हों और एक साथ जोड़े जाने पर पद b (13) के समकक्ष भी हों।
4 * 9 = 36
4 + 9 = 13
चरण 3. समीकरण में प्राप्त दो संख्याओं को पद b के योग के रूप में प्रतिस्थापित कीजिए।
आइए k और h का उपयोग हमें प्राप्त दो संख्याओं, 4 और 9 को निरूपित करने के लिए करें:
कुल्हाड़ी2 + केएक्स + एचएक्स + सी
6x2 + 4x + 9x + 6
चरण 4. समूहीकरण द्वारा बहुपद का गुणनखंड करें।
समीकरण को व्यवस्थित करें ताकि आप पहले दो और अंतिम दो पदों के सबसे बड़े सामान्य कारक को निकाल सकें। दोनों कारक समूह समान होने चाहिए। सबसे बड़े सामान्य गुणनखंडों को जोड़ें और उन्हें गुणनखंडित समूह के आगे कोष्ठकों में रखें; परिणाम दो कारक होंगे:
6x2 + 4x + 9x + 6
2x(3x + 2) + 3(3x + 2)
(2x + 3)(3x + 2)
विधि 3 का 6: ट्रिपल मैच
अपघटन के समान, "ट्रिपल-स्टार्ट" विधि a और c शब्दों के उत्पादों के संभावित कारकों की जांच करती है, फिर उनका उपयोग b के मान को खोजने के लिए करती है। एक उदाहरण के रूप में, निम्नलिखित समीकरण पर विचार करें:
8x2 + 10x + 2
चरण 1. पदों a और c को गुणा करें।
यह आपको b पद की संभावनाओं के साथ-साथ अपघटन विधि की पहचान करने में मदद करेगा। इस उदाहरण में, a बराबर 8 और c बराबर 2 है।
8 * 2 = 16
चरण 2. उन संख्याओं वाली दो संख्याएँ ज्ञात कीजिए जिनका गुणनफल और योग पद b के तुल्य हैं।
यह चरण अपघटन विधि के समान है - आपको स्थिरांक के लिए उम्मीदवारों का परीक्षण और अस्वीकार करने की आवश्यकता है। पदों a और c का गुणनफल 16 है, और पद c 10 के बराबर है:
2 * 8 = 16
8 + 2 = 10
चरण 3. इन दो संख्याओं को लें और "ट्रिपल मैच" सूत्र में उनके प्रतिस्थापन का परीक्षण करें।
पिछले चरण से दो नंबर लें - चलो उन्हें h और k कहते हैं - और उन्हें इस अभिव्यक्ति में रखें:
((कुल्हाड़ी + एच) (कुल्हाड़ी + के)) / ए
इस मामले में, हम प्राप्त करेंगे:
((8x + 8) (8x + 2)) / 8
चरण 4. देखें कि अंश के दोनों पदों में से कौन सा पद a से समान रूप से विभाज्य है।
इस उदाहरण में, हम परीक्षण कर रहे हैं कि क्या (8x + 8) या (8x + 2) को 8 से विभाजित किया जा सकता है। (8x + 8) 8 से विभाज्य है, तो चलिए इस पद को a से विभाजित करते हैं और अन्य को वैसे ही छोड़ देते हैं जैसे वे हैं.
(8x + 8) = 8(x + 1)
इस मामले में हम जो शब्द बचा रहे हैं, वह पद a: (x + 1) से भाग का शेष भाग है।
चरण 5. एक या दोनों पदों, यदि कोई हो, का सबसे बड़ा उभयनिष्ठ गुणनखंड लें।
इस उदाहरण में, 8x + 2 = 2(4x + 1) के बाद से, दूसरे पद का सबसे बड़ा सामान्य गुणनखंड 2 है। इस उत्तर का मिलान पिछले चरण में पहचाने गए पद से करें। ये समीकरण के कारक हैं।
2(x + 1)(4x + 1)
विधि ४ का ६: दो मूलों का अंतर
बहुपद में कुछ गुणांकों को "मूल" या दो संख्याओं के गुणनफल के रूप में पहचाना जा सकता है। इन जड़ों की पहचान करने से आप बहुपदों को अधिक तेज़ी से गुणनखंड कर सकते हैं। समीकरण पर विचार करें:
27x2 - 12 = 0
चरण 1. यदि संभव हो तो सबसे बड़े सामान्य कारक में कारक।
इस स्थिति में, हम देख सकते हैं कि 27 और 12 दोनों 3 से विभाज्य हैं, तो चलिए उन्हें अलग करते हैं:
27x2 - 12 = 3(9x2 - 4)
चरण 2. पहचानें कि क्या समीकरण के गुणांक वर्ग संख्याएँ हैं।
इस पद्धति का उपयोग करने के लिए, आपको शब्दों का सटीक वर्गमूल प्राप्त करने में सक्षम होना चाहिए। ध्यान दें कि ऋण चिह्न छोड़े गए हैं, क्योंकि ये संख्याएं वर्ग हैं जो दो सकारात्मक या नकारात्मक संख्याओं के उत्पाद हो सकते हैं।
9x2 = 3x * 3x और 4 = 2 * 2
चरण 3. पहचाने गए वर्गमूल का उपयोग करते हुए, कारकों को लिखिए।
ऊपर दिए गए चरण (a = 9 और c = 4) से a और c के मान लें और उनके वर्गमूलों की गणना करें – a = 3 और √ c = 2. वे व्यंजकों के कारक गुणांक होंगे:
२७x2 - 12 = 3(9x2 - 4) = 3(3x + 2)(3x - 2)
विधि ५ का ६: द्विघात सूत्र
यदि अन्य विधियाँ विफल हो जाती हैं और समीकरण समान रूप से गुणनखंडित नहीं होता है, तो द्विघात सूत्र का उपयोग करें। निम्नलिखित उदाहरण पर विचार करें:
एक्स2 + 4x + 1 = 0
चरण 1. द्विघात सूत्र में संबंधित मानों को प्रतिस्थापित करें:
एक्स = -बी ± (बी2 - 4सी)
2
हमें अभिव्यक्ति मिलती है:
एक्स = -4 ± (42 - 4•1•1) / 2
चरण 2. x के मान की गणना करें।
आपको x के लिए दो मान मिलने चाहिए। जैसा कि ऊपर दिखाया गया है, हमें दो उत्तर मिलते हैं:
एक्स = -2 + √(3) या एक्स = -2 - √(3)
चरण 3. कारकों की गणना के लिए x मानों का उपयोग करें।
x मानों को प्रतिस्थापित कीजिए। वे कारक होंगे। यदि हम दो उत्तरों को h और k के रूप में पहचानते हैं, तो हमें कारकों को इस प्रकार लिखना होगा:
(एक्स - एच) (एक्स - के)
इस मामले में, अंतिम उत्तर है:
(x - (-2 + (3))(x - (-2 - (3)) = (x + 2 - (3))(x + 2 + (3))
विधि ६ का ६: कैलकुलेटर का उपयोग करना
यदि इसका उपयोग करना संभव है, तो एक रेखांकन कैलकुलेटर फैक्टरिंग प्रक्रिया को बहुत आसान बना देता है, खासकर परीक्षणों में। रेखांकन कैलकुलेटर के लिए निम्नलिखित निर्देश हैं। निम्नलिखित उदाहरण पर विचार करें:
वाई = एक्स2 - एक्स - 2
चरण 1. कैलकुलेटर में समीकरण दर्ज करें।
आप एक समीकरण सॉल्वर का उपयोग करेंगे, जिसे [Y =] स्क्रीन के रूप में भी जाना जाता है।
चरण 2. कैलकुलेटर पर समीकरण को रेखांकन करें।
समीकरण में टाइप करने के बाद, [ग्राफ] कुंजी दबाएं - आपको समीकरण का प्रतिनिधित्व करने वाला एक चाप देखना चाहिए (और यह एक चाप होगा क्योंकि हम बहुपद के साथ काम कर रहे हैं)।
चरण 3. देखें कि चाप x-अक्ष को कहाँ काटता है।
चूंकि बहुपद समीकरणों को आमतौर पर कुल्हाड़ी के रूप में लिखा जाता है2 + bx + c = 0, ये x के दो मान हैं जो व्यंजक को शून्य के बराबर बनाते हैं:
(-1, 0), (2, 0)
एक्स = -1, एक्स = 2
यदि आप यह नहीं पहचान सकते हैं कि ग्राफ़ x-अक्ष को कहाँ काटता है, तो [२] और फिर [ट्रेस] दबाएँ। [2] दबाएं या "शून्य" चुनें। चौराहे के बाईं ओर कर्सर को स्लाइड करें और [ENTER] दबाएं। चौराहे के दाईं ओर कर्सर को स्लाइड करें और [ENTER] दबाएं। चौराहे के करीब कर्सर को स्लाइड करें और [ENTER] दबाएं। कैलकुलेटर x का मान ज्ञात करेगा। दूसरे चौराहे के लिए भी ऐसा ही करें।
चरण 4. पिछले चरण में प्राप्त x मानों को दो गुणनखंडों में प्रतिस्थापित करें।
x (h और k) के दो मानों का उपयोग करते समय, प्रयुक्त अभिव्यक्ति होगी:
(एक्स - एच) (एक्स - के) = 0
इसलिए, दो कारक होने चाहिए:
(एक्स - (-1)) (एक्स - 2) = (एक्स + 1) (एक्स - 2)
टिप्स
- यदि आपके पास TI-84 (ग्राफिक्स) कैलकुलेटर है, तो "सॉल्वर" नामक एक प्रोग्राम है जो द्विघात समीकरण को हल करता है। यह अन्य डिग्री के बहुपदों को भी हल करता है।
- यदि कोई पद मौजूद नहीं है, तो गुणांक 0 है। समीकरण को फिर से लिखना उपयोगी हो सकता है, उदाहरण के लिए: x2 + 6 = एक्स2 + 0x + 6.
- यदि आपने द्विघात सूत्र का उपयोग करके एक बहुपद का गुणनखंड किया है और मूलांकों के साथ उत्तर प्राप्त किए हैं, तो x मानों को भिन्नों में बदलने के लिए उनकी जाँच करें।
- यदि पद का कोई लिखित गुणांक नहीं है, तो यह 1 होगा, अर्थात x2 = 1x2.
- बहुत अभ्यास के बाद, आप अंततः अपने दिमाग में बहुपदों को निकालने में सक्षम होंगे। तब तक, उन्हें कागज पर लिख लें।