मूलांक (√) किसी संख्या के वर्गमूल का प्रतिनिधित्व करता है। यह प्रतीक बीजगणित, बढ़ईगीरी, या यहां तक कि कुछ खाते में पाया जा सकता है जिसमें ज्यामिति या सापेक्ष आकार या दूरी की गणना शामिल है। समान अनुक्रमित (मूल की डिग्री) के दो मूलकों को गुणा करना संभव है। यदि उनके पास समान सूचकांक नहीं हैं, तो आप इसे संभव बनाने के लिए समीकरण में हेरफेर कर सकते हैं। गुणांकों के साथ या बिना गुणांकों को गुणा करने का तरीका जानने के लिए धीमे रहें।
कदम
विधि 1 का 3: गुणांकों के बिना मूलकों को गुणा करना
चरण 1. जाँच करें कि क्या मूलांक का सूचकांक समान है।
मूल विधि का उपयोग करके उन्हें गुणा करने के लिए इसकी आवश्यकता होती है। "इंडेक्स" स्टेम सिंबल में सबसे ऊपरी लाइन के बाईं ओर लिखी गई छोटी संख्या है। यदि कोई संख्या नहीं है, तो यह एक वर्गमूल (सूचकांक 2) है, और इसे अन्य वर्गमूलों से गुणा किया जा सकता है। विभिन्न सूचकांकों के साथ मूलकों को गुणा करना संभव है, लेकिन एक अधिक उन्नत विधि की आवश्यकता होगी (बाद में देखें)। समान सूचकांकों वाले मूलकों का उपयोग करके गुणन के दो उदाहरण देखें:
- उदा. 1: (१८) x (२) = ?
- उदा. 2: (१०) x (५) = ?
- उदा. 3: 3(३) एक्स 3√(9) = ?
चरण 2. मूल चिह्न के नीचे की संख्याओं को गुणा करें।
बस मूलांक या वर्गमूल के चिह्न के नीचे की संख्याओं को गुणा करके वहीं रख दें। यहाँ यह कैसे करना है:
- उदा. 1: √(१८) x (२) = (३६)
- उदा. 2: (१०) x (५) = (५०)
- उदा. 3: 3(३) एक्स 3√(9) = 3√(27)
चरण 3. मूलांक वाले व्यंजकों को सरल कीजिए।
रेडिकल्स को गुणा करते समय, एक अच्छा मौका है कि आप उन्हें पूर्ण वर्ग या क्यूब्स में सरल बना सकते हैं, या आप अंतिम उत्पाद में एक कारक के रूप में पूर्ण वर्ग ढूंढकर उन्हें सरल बना सकते हैं। यहाँ यह कैसे करना है:
- उदा. 1: √(36) = 6. संख्या 36 एक पूर्ण वर्ग है, क्योंकि यह 6 x 6 के गुणन का गुणनफल है। 36 का वर्गमूल 6 है।
-
उदा. 2: (५०) = √(२५ x २) = ([५ x ५] x २) = ५√(२)। हालांकि संख्या ५० एक पूर्ण वर्ग नहीं है, २५, ५० का एक गुणनखंड है (क्योंकि आप इसे समान रूप से विभाजित कर सकते हैं), और यह एक पूर्ण वर्ग भी है। आप 25 को इसके गुणनखंडों, 5 x 5 से सरल बना सकते हैं और व्यंजक को सरल बनाने के लिए वर्गमूल चिह्न से 5 निकाल सकते हैं।
इसे इस तरह से सोचें: जब आप 5 को वापस रेडिकल के नीचे रखते हैं, तो यह अपने आप से गुणा हो जाता है, जिसके परिणामस्वरूप फिर से संख्या 25 हो जाती है।
- उदा. 3:3√(27) = 3. संख्या 27 एक पूर्ण घन है, क्योंकि यह 3 x 3 x 3 का गुणनफल है। इसलिए, 27 का घनमूल 3 है।
विधि 2 का 3: गुणांकों के साथ रेडिकल गुणा करना
चरण 1. गुणांक गुणा करें।
गुणांक मूलांक के बाहर की संख्या है। यदि कोई संख्या नहीं है, तो गुणांक को संख्या 1 समझा जाता है। गुणांकों को गुणा करें। यहाँ यह कैसे करना है:
-
उदा. 1: ३√(२) एक्स √(१०) = ३√(?)
३ एक्स १ = ३
-
उदा. 2: 4√(3) x 3√(6) = 12√(?)
4 x 3 = 12
चरण 2. रेडिकल के भीतर की संख्याओं को गुणा करें।
गुणांकों को गुणा करने के बाद, मूलांक के अंदर की संख्याओं को गुणा करें। यहाँ यह कैसे करना है:
- उदा. 1: ३√(२) एक्स (१०) = ३√(२ एक्स १०) = ३√(२०)
- उदा. 2: 4√(3) x 3√(6) = 12√(3 x 6) = 12√(18)
चरण 3. उत्पाद को सरल बनाएं।
फिर पूर्ण वर्गों की संख्या को गुणा करके पूर्ण वर्गों की तलाश करके रेडिकल के नीचे की संख्याओं को सरल बनाएं। इन पदों को सरल करते समय, बस उन्हें उनके संगत गुणांकों से गुणा करें। यहाँ यह कैसे करना है:
- 3√(20) = 3√(4 x 5) = 3√([2 x 2] x 5) = (3 x 2)√(5) = 6√(5)
- 12√(18) = 12√(9 x 2) = 12√(3 x 3 x 2) = (12 x 3)√(2) = 36√(2)
विधि 3 का 3: विभिन्न सूचकांकों के साथ रेडिकल गुणा करना
चरण 1. सूचकांकों का MMC (कम से कम सामान्य गुणक) ज्ञात कीजिए।
ऐसा करने के लिए, वह छोटी से छोटी संख्या ज्ञात कीजिए जो दोनों सूचकांकों से समान रूप से विभाज्य हो। निम्नलिखित समीकरण के सूचकांकों का MMC ज्ञात कीजिए:3(५) एक्स 2√(2) = ?
सूचकांक 3 और 2 संख्याएँ हैं। 6 इन दो संख्याओं का MMC है क्योंकि यह सबसे छोटी संख्या है जो 3 और 2 से समान रूप से विभाज्य हो सकती है। 6/3 = 2 और 6/2 = 3। मूलकों को गुणा करने के लिए, दोनों इंडेक्स 6 होने चाहिए।
चरण 2. प्रत्येक व्यंजक को नए MMC के साथ अनुक्रमणिका के रूप में लिखें।
देखें कि नए इंडेक्स के साथ एक्सप्रेशन कैसा दिखेगा:
6(५) एक्स 6√(2) = ?
चरण 3. एमएमसी की गणना करने के लिए प्रत्येक मूल सूचकांक को गुणा करने में लगने वाली संख्या का पता लगाएं।
अभिव्यक्ति के लिए 3(५), आपको ६ प्राप्त करने के लिए ३ के सूचकांक को २ से गुणा करना होगा। व्यंजक के लिए 2(2), आपको 6 प्राप्त करने के लिए 2 के सूचकांक को 3 से गुणा करना होगा।
चरण 4. इस संख्या को मूलांक के भीतर की संख्या का घातांक बनाइए।
पहले समीकरण के लिए, संख्या 2 को संख्या 5 पर समीकरण बनाएं। दूसरे समीकरण के लिए, संख्या 3 को संख्या 2 के ऊपर समीकरण बनाएं। समीकरण इस तरह दिखना चाहिए:
- 2 6√(5) = 6√(5)2
- 3 6√(2) = 6√(2)3
चरण 5. मूलकों के अंदर की संख्याओं को उनके घातांक से गुणा करें।
यहाँ यह कैसे करना है:
- 6√(5)2 = 6(5 x 5) = 6√25
- 6√(2)3 = 6(२ x २ x २) = 6√8
चरण 6. इन संख्याओं को एक मूलांक के ऊपर रखें।
उन्हें एक मूलांक के ऊपर रखें और उन्हें गुणन चिह्न से जोड़ दें। देखें कैसा होगा परिणाम: 6(8 x 25)
चरण 7. उन्हें गुणा करें।
6(८ x २५) = 6(200)। वह अंतिम उत्तर है। कुछ मामलों में, इन अभिव्यक्तियों को सरल बनाना संभव हो सकता है। उदाहरण के लिए, आप इस व्यंजक को सरल बना सकते हैं यदि आपको कोई ऐसी संख्या मिलती है जिसे अपने आप से छह गुना गुणा किया जा सकता है और वह 200 का गुणनखंड है। हालाँकि, उस स्थिति में व्यंजक को और सरल नहीं बनाया जा सकता है।
टिप्स
- यदि एक "गुणांक" को मूल चिह्न से धन या ऋण चिह्न से अलग किया जाता है, तो यह गुणांक नहीं है; यह एक अलग शब्द है जिसे स्टेम से अलग से निपटा जाना चाहिए। यदि एक तना और दूसरा शब्द एक ही कोष्ठक से घिरा हुआ है - उदाहरण के लिए, (2 + √5) -, तो आपको कोष्ठक के अंदर संचालन करते समय उनका अलग से इलाज करना चाहिए, लेकिन कोष्ठक के बाहर संचालन करते समय, आपको इलाज करना चाहिए (2 + 5) एक पूरी इकाई के रूप में।
- भिन्नात्मक घातांक की पहचान करने का एक अन्य तरीका एक मूल चिह्न है। दूसरे शब्दों में, किसी भी संख्या का वर्गमूल उस संख्या के 1/2 घात के बराबर होता है; किसी भी संख्या का घनमूल वही होता है जो उस संख्या को बढ़ाकर 1/3 घात कर दिया जाता है; और इसी तरह।
- एक "गुणांक" वह संख्या है, यदि कोई हो, जो सीधे मूल चिह्न के सामने रखी जाती है। उदाहरण के लिए, व्यंजक (2 + 5) में, संख्या 5 मूल चिह्न से नीचे है, और संख्या 2, जो मूलांक के बाहर है, गुणांक है। जब एक रेडिकल और एक गुणांक को एक साथ रखा जाता है, तो यह वही समझा जाता है जैसे कि रेडिकल को गुणांक से गुणा करना, या, पिछले उदाहरण को जारी रखते हुए, 2 * 5।